Información del curso

En las ecuaciones diofánticas se buscan soluciones de ecuaciones polinomiales en enteros o números racionales. Las ecuaciones diofánticas de una variable son fáciles de resolver. Con respecto a las ecuaciones diofánticas de dos variables f(x,y)=0 surgen las preguntas siguientes:
1. ¿Existen soluciones en enteros?
2. ¿Existen soluciones en números racionales?
3. ¿Cuántas soluciones hay en números enteros?
4. ¿Cuántas soluciones hay en números racionales?
Para polinomios f(x₁,…,𝑥_n) con más de dos variables, Davis, Matijasevic y Robinson mostraron que no existe solución a la pregunta 1. Esto es, no existe un algoritmo que puede responder simplemente con un sí o un no a esta pregunta.
Ahora bien, regresando a las ecuaciones con dos variables, si pensamos en los polinomios de grado 1, ax+by=c; a,b,c enteros,
se conoce lo siguiente:
• Hay un número infinito de soluciones racionales.
• No existen soluciones enteras si mcd(a,b) no divide a c.
• De otro modo, hay un número finito de soluciones enteras.
Con respecto a los polinomios de grado dos, se sabe que, si existe una solución racional, entonces existe un número infinito de ellas. En el curso, en el capítulo 1, daremos un criterio, el teorema de Legendre, para saber cuándo una ecuación cuadrática tiene una solución en enteros.
Así que para ecuaciones de grado uno y dos se tienen una buena idea de cómo resolverlas. Las ecuaciones siguientes de dos variables, son las de grado tres. Las gráficas de estas ecuaciones son las curvas elípticas, objeto de estudio de esta asignatura. Exploraremos en el curso lo que se conoce de estas curvas. En el capítulo dos, vemos que el conjunto de soluciones de una curva elíptica, cuya ecuación es usualmente escrita en la forma de Weierstrass, forman un grupo abeliano. Establecemos el invariante j, que es un invariante de las curvas elípticas que nos ayuda en su clasificación.
Los puntos de torsión de una curva elíptica, esto es, puntos cuyo orden es finito, juegan un papel importante en su estudio. En el capítulo 3, consideramos los casos de 2 y 3 torsión y luego determinamos la situación general. Finalmente, discutimos el importante pareo de Weil sobre los puntos de torsión.
En el capítulo final, capítulo 4, estudiamos las curvas elípticas sobre campos finitos. El grupo abeliano de estas curvas es desde luego finito y el estudio de su orden es importante en muchos contextos. El conocimiento de la teoría básica de este tipo de curvas elípticas es el punto de inicio para las aplicaciones criptográficas. Aquí estudiamos un algoritmo para calcular el orden de un punto de la curva, el algoritmo de pasos pequeños y saltos gigantescos, que es un algoritmo que sirve para cualquier grupo abeliano finito. Finalmente presentamos el algoritmo de Schoof, que da un método para calcular el orden del grupo de una curva elíptica sobre un campo finito.