En este primer curso de geometría diferencial se estudian las curvas y supericies inmersas en el espacio tridimensional euclidiano utilizando conocimientos básicos de cálculo en varias variables y álgebra lineal. Estos objetos constituyen los primeros ejemplos de variedades diferenciables, que son una generalización de los espacios donde se pueden definir funciones diferenciables. La idea central es desarrollar los conceptos y técnicas del cálculo para funciones definidas sobre curvas y superficies y generalizar a cualquier superficie regular algunos conceptos de la geometría euclidiana. Con este cálculo se analizan las propiedades de curvas y superficies, siendo la curvatura uno de los más importantes, puesto que determina la geometría. Como proyectos integradores se pretende que los estudiantes desarrollen al final del curso breves introducciones a tres temas:
(1) Geometría hiperbólica, la cual es una de las geometrías no-euclidianas que pueden describirse con las técnicas de la geometría diferencial usando el modelo del disco de Poincaré cuya curvatura es una constante negativa.
(2) Superficies mínimas, que son las de menor área con una curva fija como frontera. Estas superficies tienen curvatura media constante igual a cero.
(3) El Teorema de Gauss-Bonnet, el cual relaciona la integral de la curvatura gaussiana de una superficie compacta con su característica de Euler, lo cual muestra una profunda conexión entre un concepto local (la curvatura) y uno global y topológico (la característica de Euler).
(4) Hipersuperficies en espacios euclidianos de dimensión finita, como generalización del concepto de superficie regular. Se pueden utilizar la teoría del cálculo de varias variables que fue utilizada en el caso de superficies inmersas en el 3-espacio euclidiano, generalizando todo adecuadamente al caso de dimensión nÎN, para definir una (n-1)-variedad diferenciable inmersa en el n-espacio euclidiano.
Objetivos generales:
- Manejar el lenguaje básico de la geometría diferencial de curvas y superficies en el 3-espacio euclidiano.
- Demostrar y aplicar las fórmulas de Frenet-Serret.
- Obtener parametrizaciones de curvas y superficies.
- Demostrar y manejar las técnicas fundamentales del cálculo de funciones definidas en curvas y superficies regulares.
- Manejar diversas definiciones de curvatura y encontrar su valor.
- Desarrollar y exponer en equipo alguno de los cuatro proyectos integradores.
- Profesor: Waldemar Barrera Vargas
