Asignaturas Optativas

Esta asignatura es una introducción a algunas ideas interesantes en geometría algebraica y álgebra conmutativa. La geometría que nos interesa tiene que ver con variedades afines, que son curvas y superficies (y objetos de dimensión mayor) definidos por medio de ecuaciones polinomiales. Para entender las variedades afines necesitaremos algo de álgebra, en particular, necesitaremos estudiar los ideales en el anillo de polinomios k[x1,…,xn]. En los años 1960, Buchberger y Hironaka descubrieron algoritmos nuevos para resolver sistemas de ecuaciones polinomiales. El desarrollo de computadoras suficientemente rápidas para correr esos algoritmos ha permitido investigar ejemplos complicados que serían imposibles de realizar a mano. De este modo estudiaremos las bases de Gröbner, que nos permitirán resolver problemas acerca de los ideales polinomiales de una manera algorítmica o computacional.
Posteriormente estudiamos métodos sistemáticos para eliminar variables en un sistema de ecuaciones polinomiales. La estrategia básica de la teoría de eliminación que estudiamos está dada en dos teoremas importantes: el teorema de eliminación y el teorema de extensión. Para su prueba usamos la teoría clásica de las resultantes.
Después exploraremos la correspondencia entre ideales y variedades. Esto nos permitirá construir un diccionario entre la geometría y el álgebra donde cualquier afirmación acerca de variedades puede ser trasladada a una afirmación entre ideales (y viceversa). Estudiamos también la posibilidad de descomponer una variedad en una unión de variedades más simples y la noción algebraica correspondiente de escribir un ideal como una intersección de ideales más simples.
A lo largo del curso se presentarán muchas aplicaciones de los resultados obtenidos. Por ejemplo, daremos una descripción de los ideales, resolveremos el problema de la pertenencia de un polinomio a un ideal, el de hacer implícitas las ecuaciones paramétricas que describen una variedad y otros más.